Почему одинаковая ожидаемая прибыль не означает одинаковый риск

1. Три стратегии с одинаковой математикой — на первый взгляд

Предположим, у нас есть $1 000 свободного капитала.

Мы рассматриваем три возможности. Каждая имеет только два возможных исхода. Все проценты доходности ниже относятся к первоначальному банкроллу $1 000, а не к размеру отдельной ставки.

В интерактиве «Три стратегии» эти же распределения представлены ставками с разными коэффициентами:

При проигрыше теряется поставленная сумма, остальной банкролл не меняется. Коэффициенты B и C округлены только для отображения; расчёты ниже используют точные исходные денежные результаты.

Таким образом, A редко приносит крупную прибыль, B даёт более сбалансированное распределение, а C чаще выигрывает, но имеет более тяжёлый отрицательный исход.

Какую бы ты выбрал?

На первый взгляд стратегия C может выглядеть особенно привлекательно. Она приносит прибыль в четырёх случаях из пяти.

Стратегия A, напротив, выигрывает только в 20% случаев.

Но вероятность положительного результата сама по себе не определяет качество стратегии.

Посмотрим на денежное математическое ожидание.

Для A:

$$\mathrm{EV}(A)=0{,}2\times45\%+0{,}8\times(-5\%)=+5\%$$

Для B:

$$\mathrm{EV}(B)=0{,}5\times25\%+0{,}5\times(-15\%)=+5\%$$

Для C:

$$\mathrm{EV}(C)=0{,}8\times15\%+0{,}2\times(-35\%)=+5\%$$

У всех трёх одинаковая ожидаемая доходность.

Если вложить $1 000, математическое ожидание итогового капитала составит $1 050.

Можно ли считать их равноценными?

Пока рано.

2. Волатильность тоже одинаковая

Следующим шагом обычно становится оценка разброса результатов.

Стандартное отклонение измеряет, насколько сильно возможные значения отличаются от математического ожидания.

Его часто используют как показатель финансового риска.

Для дискретного распределения:

$$\sigma=\sqrt{\sum_i p_i\left(R_i-\mathbb{E}[R]\right)^2}$$

Здесь Rᵢ — возможная доходность, а pᵢ — её вероятность.

Посчитаем для стратегии A.

Средняя доходность равна 5%.

Удачный результат +45% находится на 40 процентных пунктов выше среднего.

Неудачный результат −5% находится на 10 процентных пунктов ниже.

Дисперсия:

$$0{,}2\times0{,}40^2+0{,}8\times(-0{,}10)^2=0{,}04$$

Стандартное отклонение:

$$\sigma=\sqrt{0{,}04}=20\%$$

Если выполнить аналогичные расчёты для двух других стратегий, результат окажется тем же.

Получается, что стратегии совпадают сразу по двум наиболее популярным характеристикам.

Но их возможные исходы явно различаются.

У стратегии A ограниченный убыток −5%, но очень редкая крупная прибыль.

У стратегии C частая небольшая прибыль, но возможная потеря −35%.

Стандартное отклонение одинаково, потому что оно измеряет общий разброс относительно среднего, а не различает привлекательность положительного и отрицательного хвостов распределения.

Именно здесь проявляется ограничение анализа только по EV и волатильности.

---

3. Почему Sharpe ratio не помогает выбрать между ними

Ещё один популярный инструмент инвестиционного анализа — коэффициент Шарпа.

Он показывает дополнительную доходность относительно безопасного актива на единицу волатильности.

$$\mathrm{Sharpe}=\frac{\text{Ожидаемая доходность}-\text{Безрисковая доходность}}{\text{Волатильность}}$$

В нашем однопериодном примере для простоты безопасная доходность равна нулю.

Тогда для каждой стратегии:

$$\mathrm{Sharpe}=\frac{5\%}{20\%}=0{,}25$$

Все три стратегии имеют одинаковый Sharpe ratio. Здесь это показатель для одного модельного периода, не годовой коэффициент: мы не делаем предположений о повторяемости ставок и не пересчитываем результат в годовое значение.

Но означает ли это одинаковую финансовую привлекательность?

Нет.

Sharpe ratio учитывает ожидаемую доходность и стандартное отклонение.

Он не показывает непосредственно, какая доля разброса приходится на неблагоприятные исходы, насколько распределение асимметрично и какие именно потери могут произойти.

Это не делает коэффициент Шарпа плохой метрикой.

Он полезен для многих задач, особенно когда распределения достаточно хорошо описываются средним и дисперсией.

Однако две стратегии с одинаковым Sharpe могут иметь разные риски тяжёлых потерь.

Поэтому показатель необходимо интерпретировать в контексте полного распределения результатов.

4. Почему форма распределения имеет значение

Вернёмся к трём стратегиям.

Они отличаются не только частотой выигрышей.

Они обладают разной асимметрией распределения — skewness, или скошенностью.

Положительная скошенность

Относительно частые небольшие отрицательные или скромные результаты сочетаются с редкой крупной прибылью.

Так устроена наша стратегия A.

Симметричное распределение

Возможные отклонения относительно среднего сбалансированы.

Так устроена стратегия B.

Отрицательная скошенность

Частая небольшая прибыль сочетается с редким, но значительно более тяжёлым отрицательным исходом.

Так устроена стратегия C.

В нашем специально подобранном примере коэффициенты скошенности равны:

Почему это важно?

Предположим, человеку предлагают две стратегии с одинаковым EV и волатильностью.

В первой неприятный результат относительно небольшой, но происходит часто.

Во второй значительная потеря случается редко.

Принимающий решение человек может предпочесть первую стратегию, если крупный разовый убыток особенно болезненен.

Но для другого человека оценка может быть иной.

Например, если инвестиция составляет незначительную долю его богатства, разница в последствиях может быть небольшой.

Следовательно, для сравнения нужно понять, насколько ценны различные денежные исходы.

И здесь появляется Expected Utility.

---

5. Что такое ожидаемая полезность

Классическое денежное математическое ожидание предполагает, что мы оцениваем исходы непосредственно в деньгах.

Но ценность денег для человека не обязательно пропорциональна их количеству.

Представим двух людей.

У первого капитал $10 000.

У второго — $10 млн.

Обоим предлагают возможность с вероятностью 50% заработать $5 000 и с вероятностью 50% потерять $5 000.

Денежное EV равно нулю.

Но экономические последствия различаются.

Для первого человека проигрыш уничтожит половину капитала.

Для второго изменение богатства почти незаметно.

Неудивительно, что они могут по-разному оценивать такую возможность.

В теории ожидаемой полезности вместо непосредственного сравнения денег используется функция, которая описывает ценность разных уровней благосостояния.

В общем виде:

$$\mathrm{EU}=\sum_i p_i U(W_i)$$

Здесь EU — Expected Utility.

Идея заключается не в том, что люди должны игнорировать денежную прибыль.

Наоборот, теория позволяет рассматривать финансовую прибыль вместе с последствиями возможных потерь.

В математической модели человек выбирает вариант с наибольшей ожидаемой полезностью.

Важное уточнение: теория ожидаемой полезности — это прежде всего способ формализовать последовательные предпочтения в условиях неопределённости.

Она не гарантирует, что реальный человек в каждой ситуации действительно принимает решения именно так.

И не означает, что существует универсальная функция полезности, подходящая всем.

6. Почему полезность дополнительных денег может уменьшаться

Представим, что ты увеличиваешь капитал с $10 000 до $20 000.

Это значительное изменение финансового положения.

Теперь предположим, что капитал увеличивается с $10 млн до $10,01 млн.

Абсолютный прирост в обоих случаях составляет $10 000.

Но относительное и жизненное значение этих денег может быть совершенно разным.

Один из способов описывать такое поведение — использовать вогнутую функцию полезности.

Вогнутость означает, что дополнительные деньги продолжают приносить положительную полезность, но каждый следующий доллар может иметь меньшую предельную ценность.

Из этого возникает принципиальный результат.

Для человека с такой функцией полезности гарантированная сумма обычно ценнее рискованной возможности с той же ожидаемой денежной суммой.

Представим возможность получить:

• $800 с вероятностью 50%;
• $1 200 с вероятностью 50%.

Математическое ожидание составляет $1 000.

Но человек, который сильно не любит риск, может предпочесть гарантированные $950.

С денежной точки зрения он отказывается от $50 ожидаемого результата.

Но с точки зрения собственных предпочтений может получать больше полезности благодаря отсутствию неопределённости.

Чтобы количественно описывать такой выбор, используются функции полезности и эквивалент гарантированного результата.

7. CRRA: как описать отношение к риску одним параметром

Один из наиболее распространённых классов функций полезности — Constant Relative Risk Aversion, или CRRA.

Его основное свойство заключается в постоянном коэффициенте относительного неприятия риска.

Для γ, не равного 1, функция может записываться так:

$$U(W) = \frac{W^{1-\gamma} - 1}{1-\gamma}$$

При γ = 1:

$$U(W) = \ln(W)$$

Здесь W — итоговое положительное богатство, а γ — коэффициент относительного неприятия риска.

Чем выше γ, тем более существенно модель учитывает негативные последствия рискованных изменений богатства.

При γ = 1 мы получаем логарифмическую полезность, знакомую по критерию Келли.

При γ = 2, 3 или 4 неприятие риска становится сильнее.

Но не стоит воспринимать γ как психологический диагноз.

Мы не можем попросить человека ответить на два вопроса, после чего объективно установить, что его коэффициент неприятия риска равен 2,7.

Это параметр модели, позволяющий сравнивать возможные решения при явно заданных предпочтениях.

Кроме того, в реальной жизни отношение человека к риску может зависеть от финансовых обязательств, горизонта планирования и других обстоятельств.

Тем не менее CRRA предоставляет удобный математический инструмент.

Она позволяет сравнить стратегии не только по EV, но и по их ожидаемой полезности.

---

8. Certainty Equivalent: переводим полезность обратно в деньги

У теории ожидаемой полезности есть один практический недостаток.

Сама полезность выражается в условных единицах.

Например, результат вычисления может составить −0,001 или 8,14 в зависимости от формы и нормализации функции.

Интерпретировать подобные значения человеку неудобно.

Поэтому используется Certainty Equivalent, сокращённо CE.

Это гарантированная сумма богатства, которая при данной функции полезности эквивалентна рискованной возможности.

Иначе говоря, мы задаём вопрос:

«Какую гарантированную сумму ты счёл бы равноценной этой стратегии?»

Математическое определение:

$$U(\mathrm{CE}) = \mathbb{E}[U(W)]$$

То есть полезность гарантированной суммы CE совпадает с ожидаемой полезностью рискованной стратегии.

Если первоначальный капитал равен $1 000, можно выразить результат в виде эквивалентной гарантированной доходности — CER:

$$\mathrm{CER} = \frac{\mathrm{CE}}{\$1\,000} - 1$$

Это делает расчёт значительно понятнее.

Если CER равен +2%, стратегия по выбранной функции полезности эквивалентна гарантированному увеличению капитала на 2%.

Если CER равен −1%, она эквивалентна гарантированной потере 1%.

При этом CER не является прогнозом того, сколько денег человек фактически получит.

Это оценка рискованной возможности через конкретную функцию полезности.

Именно это отличие делает показатель полезным.

9. Что покажет CER для наших трёх стратегий?

Вернёмся к капиталу $1 000.

Предположим, мы используем полный масштаб модельной позиции: для A ставим $50, для B — $150, для C — $350 при банкролле $1 000.

Остального богатства в этой учебной модели нет.

Используем CRRA с коэффициентом γ = 2.

Получаем:

Это центральный результат статьи.

По денежному математическому ожиданию все три стратегии одинаковы.

Но по эквивалентной гарантированной доходности — совершенно разные.

Стратегия A имеет CER около +2,04%.

Стратегия B — около +1,19%.

А стратегия C, несмотря на положительное EV, имеет отрицательный CER.

В денежном выражении разрыв между эквивалентными гарантированными капиталами A и C составляет $23,70 при совершенно одинаковых среднем выигрыше и стандартном отклонении. Это самостоятельно рассчитанная цена различия форм распределений при конкретной функции полезности γ = 2, а не универсальная надбавка за положительную асимметрию.

Почему?

При стратегии C в 80% случаев капитал вырастает до $1 150.

Но в 20% случаев уменьшается до $650.

Для модели с γ = 2 значительная потеря капитала обладает достаточно высокой отрицательной ценностью, чтобы уменьшить эквивалент гарантированного результата ниже первоначальных $1 000.

Важно: это не означает, что стратегия C объективно убыточна.

Её денежное EV положительно.

Но при выбранной функции полезности, начальном богатстве и размере позиции такая возможность хуже гарантированного сохранения $1 000.

Мы просто используем другой критерий оценки.

---

10. Почему «80% выигрышных случаев» — опасная характеристика

Вторая важная идея нашего примера — различие между частотой выигрышей и качеством стратегии.

Стратегия C выигрывает в четырёх случаях из пяти.

Если человек испытывает её на небольшой выборке, она может производить впечатление исключительно надёжной.

Представим десять независимых реализаций.

В типичном наборе будет много сравнительно небольших положительных результатов.

Но время от времени случается потеря 35% начального банкролла ($350 при капитале $1 000 и масштабе позиции 100%).

Одна такая потеря способна уничтожить прибыль от нескольких удачных реализаций.

При этом исходное EV всё ещё остаётся положительным.

Именно поэтому нельзя оценивать стратегию только по проценту прибыльных сделок.

Для её оценки необходимо знать:

• величину возможных прибылей;
• величину возможных потерь;
• их вероятности;
• размер принимаемой позиции;
• последствия неблагоприятных исходов для общего капитала.

Высокий win rate сам по себе не гарантирует высокой ожидаемой прибыли.

И тем более не гарантирует приемлемого риска.

Это актуально не только для инвестиций.

В спортивных ставках стратегии на фаворитов могут иметь высокую долю выигрышных событий, но при этом оставаться отрицательными по EV.

В покере высокая частота прибыльных сессий необязательно означает, что стратегия обладает высоким винрейтом после учёта редких крупных проигрышей.

Частота успеха — лишь одна характеристика распределения результатов.

11. Почему нельзя оценивать только частоту выигрышей — и только Sharpe тоже

Теперь объединим предыдущие выводы.

Если мы оцениваем стратегии по доле прибыльных исходов, предпочтительнее выглядит C.

Если оцениваем по EV, все стратегии эквивалентны.

Если оцениваем по стандартному отклонению, они тоже эквивалентны.

Если используем Sharpe ratio, результат снова одинаковый.

Но при CRRA с γ = 2 и полном масштабе модельных позиций наибольшая ожидаемая полезность оказывается у A.

Получается, что каждая метрика отвечает на свой вопрос.

Win rate: как часто результат положительный?

EV: сколько денег стратегия приносит в среднем?

Волатильность: насколько сильно результаты отклоняются от среднего?

Sharpe ratio: сколько ожидаемой дополнительной доходности приходится на единицу волатильности?

CER: какой гарантированный результат эквивалентен стратегии при заданной модели предпочтений?

Именно поэтому полноценная оценка риска не может сводиться к одной цифре.

Иногда для решения достаточно EV и волатильности.

Иногда требуется учитывать отрицательный хвост распределения.

Иногда — корреляцию с другими позициями.

А иногда — конкретные ограничения по капиталу, ликвидности или допустимому убытку.

Главная ценность Expected Utility заключается не в замене всех других метрик.

Она помогает связать характеристики стратегии с тем, что принимает решение человек или организация действительно пытается максимизировать.

---

12. Как именно вычисляется CER

Этот раздел для тех, кто хочет разобраться в математике подробнее.

При коэффициенте неприятия риска γ = 2 функция CRRA, с точностью до несущественного преобразования, использует величину, обратную богатству.

Поэтому эквивалент гарантированного капитала можно выразить через:

$$\mathrm{CE}=\frac{1}{\mathbb{E}[1/W]}$$

Для стратегии C у нас два возможных результата.

С вероятностью 80%:

W = $1 150

С вероятностью 20%:

W = $650

Подставляем:

Получаем:

CE = $996,67

Теперь считаем CER:

CER ≈ −0,33%

Сравним с денежным математическим ожиданием:

Ожидаемый капитал выше первоначального на $50.

Но эквивалент гарантированного капитала ниже первоначального примерно на $3,33.

Никакого противоречия здесь нет.

EV и CE решают разные задачи.

Первый показатель усредняет денежные исходы.

Второй учитывает то, насколько полезны эти исходы при выбранной функции полезности.

Разницу между математическим ожиданием капитала и его certainty equivalent иногда называют денежной премией за риск.

Для стратегии C:

$$\text{Премия за риск}=1\,050-996{,}67=53{,}33$$

При заданных предпочтениях эта премия за риск оказывается больше ожидаемой денежной прибыли $50.

Отсюда и отрицательный CER.

Важно не путать этот показатель с рыночной премией за риск из предыдущих статей. Там речь шла о дополнительной ожидаемой доходности рискованного актива относительно безопасного. Здесь — о разнице между ожидаемым и эквивалентным гарантированным богатством.

13. А если изменить отношение к риску?

До сих пор мы использовали γ = 2.

Но разные коэффициенты неприятия риска дают разные результаты.

Для первоначального капитала $1 000 и полной позиции в каждой стратегии:

Чем сильнее неприятие риска, тем менее привлекательными оказываются все три возможности при том же размере позиции.

Особенно быстро ухудшается оценка стратегии C.

Причина — её отрицательный хвост распределения.

Но обратим внимание и на другой момент.

При γ = 1 стратегия C имеет положительный CER.

То есть один и тот же финансовый риск может быть привлекательным при одних предпочтениях и нежелательным при других.

Здесь нет универсального правильного ответа.

Мы можем сказать, какая стратегия максимизирует ожидаемую полезность при заданной функции полезности.

Но нельзя автоматически утверждать, что всем людям следует выбирать именно её.

Если человек нейтрален к риску и оценивает альтернативы исключительно по ожидаемому денежному результату, он будет безразличен между A, B и C при одинаковом масштабе их модельных позиций.

Это ещё раз показывает важность явного определения целевой функции.

---

14. Самое интересное: можно изменить не стратегию, а размер позиции

До этого момента мы рассматривали полный масштаб каждой модельной позиции: A — ставка $50, B — $150, C — $350 при начальном банкролле $1 000. Это не означает, что весь банкролл был поставлен на кон.

Но зачем обязательно использовать полный масштаб позиции?

Представим, что ты выбрал стратегию C и уменьшил размер её ставки вдвое: вместо $350 поставил $175. Остальной банкролл сохраняется без изменения стоимости.

Теперь возможны два результата.

С вероятностью 80% чистая прибыль составит половину от прежних $150, то есть +$75.

Итоговый капитал:

$1 000 + $75 = $1 075

С вероятностью 20% ставка $175 будет проиграна.

Итоговый капитал:

$1 000 − $175 = $825

Ожидаемый капитал теперь составляет $1 025.

А эквивалентная гарантированная доходность при γ = 2 равна приблизительно +1,36%.

Сравним:

Это один из важнейших результатов статьи.

Сама структура инвестиционной возможности не изменилась: вероятности и коэффициент выплаты остались прежними. Однако денежные выигрыши и проигрыши уменьшились пропорционально ставке.

Уменьшение размера позиции превратило отрицательную по CER стратегию в положительную.

Именно поэтому необходимо различать качество возможности и качество решения об объёме риска.

Даже если стратегия слишком рискованна при полном масштабе модельной позиции, она может быть привлекательна при уменьшенной ставке.

И наоборот: экономически привлекательная возможность может стать неразумной при чрезмерно большой позиции.

15. Как найти размер позиции с наибольшей ожидаемой полезностью

Теперь можно поставить ещё более интересную задачу.

Вместо сравнения трёх стратегий при полном масштабе исходных ставок давай разрешим каждой выбрать оптимальный масштаб своей модельной позиции.

Предположим:

• первоначальный капитал $1 000;
• оставшиеся вне позиции деньги не меняются в цене;
• коэффициент неприятия риска γ = 2;
• масштаб исходной ставки каждой стратегии можно выбирать непрерывно от 0% до 100%;
• все исходные вероятности известны точно.

Тогда можно численно найти размер позиции, максимизирующий CER.

Получаем:

Результаты интересны по двум причинам.

Во-первых, оптимальный масштаб ставки зависит от распределения доходности.

Во-вторых, стратегия, которая непривлекательна при полном масштабе модельной ставки, может иметь положительную ценность при уменьшенном размере позиции.

При этом оптимальные доли рассчитаны исключительно для нашей упрощённой модели.

Они не означают, что реальному инвестору следует ставить 95% банкролла: для стратегии A оптимальный масштаб 95,24% относится к исходной ставке $50, то есть фактическая ставка составляет около $47,62 (4,76% банкролла).

Не стоит переоценивать точность оптимума. Для C масштаб 50% даёт CER около +1,35714%, а расчётный оптимум 50,85% — около +1,35758%. Разница — всего 0,00044 процентного пункта, или менее одного цента эквивалентного гарантированного капитала на исходные $1 000. Столь небольшое преимущество легко теряет практический смысл при неопределённых входных вероятностях.

В реальности необходимо учитывать всё остальное богатство, обязательства, неопределённость вероятностей, стоимость сделок и другие возможные риски.

Но основной математический принцип остаётся.

Выбор стратегии и выбор размера позиции — это части одной задачи оптимизации риска.

16. Почему даже правильный CER не делает решение окончательным

После знакомства с Expected Utility может возникнуть соблазн использовать CER как универсальную метрику.

Но и у этого показателя существуют ограничения.

Прежде всего, необходимо корректно задать функцию полезности.

Если выбранное значение γ не соответствует реальным предпочтениям человека, расчёт CER может быть математически правильным, но практически малополезным.

Далее, нужно оценить распределение возможных результатов.

В нашем примере вероятности известны точно.

В реальной жизни они оцениваются по данным и могут оказаться ошибочными.

Кроме того, мы рассматриваем только один период и одну рискованную позицию.

Но инвестор может одновременно владеть другими активами.

Покерный игрок имеет доходы и расходы за пределами банкролла.

Букмекер управляет множеством взаимосвязанных обязательств.

В таких условиях нельзя просто оценить каждую возможность отдельно и считать, что совокупная стратегия автоматически оптимальна.

Нужно анализировать совместное распределение результатов.

И ещё один важный момент.

Ожидаемая полезность позволяет выразить предпочтения, но не отменяет жёсткие ограничения.

Например, человек может иметь обязательный платёж через месяц. Даже привлекательная по ожидаемой полезности стратегия может оказаться недопустимой, если существует существенная вероятность, что после её реализации денег на платёж не хватит.

Поэтому реальная задача часто объединяет ожидаемую полезность с ограничениями на капитал, ликвидность и вероятность критических потерь.

---

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Спортивные ставки

17. Практический взгляд: спортивные ставки

Независимая профессиональная интерпретация

В спортивных ставках особенно распространена оценка стратегии через ROI и процент выигрышных ставок.

Оба показателя полезны, но не дают полного представления о риске.

Представим две стратегии.

Первая делает ставки преимущественно на небольшие коэффициенты.

Вторая — на крупные коэффициенты с невысокой вероятностью успеха.

У обеих может быть одинаковый ожидаемый ROI.

Но распределение прибыли по отдельным ставкам будет существенно отличаться.

Стратегия с частыми выигрышами может создавать длительные периоды стабильной небольшой прибыли и редкие болезненные проигрыши.

Другая — множество небольших потерь и редкие крупные выигрыши.

Даже при одинаковом EV управление банкроллом может требовать разных размеров ставок.

Особенно если существуют ограничения по допустимой просадке.

Здесь важна и обратная сторона.

Не стоит автоматически считать, что стратегия с высокой частотой выигрышей обладает более низким риском.

Высокий win rate вполне может сочетаться с тяжёлым отрицательным хвостом.

Поэтому профессиональному беттору полезно анализировать полное распределение результатов и размер позиции, а не только среднюю прибыльность.

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Покер

18. Практический взгляд: покер

Независимая профессиональная интерпретация

В покере аналогичная логика возникает при сравнении форматов игры.

Представим два формата с близким ожидаемым почасовым заработком.

Но дисперсия результатов в них различается.

При этом даже одна только величина дисперсии не всегда достаточно подробно описывает риск.

Например, структура выплат турниров может создавать распределение с редкими очень крупными результатами.

Кэш-игра имеет другую структуру денежных исходов.

Нельзя считать, что одинаковая средняя прибыль автоматически означает одинаковые требования к капиталу.

Особенно важен размер риска по отношению ко всему финансовому положению игрока.

Для одного игрока банкролл $20 000 может представлять практически весь свободный капитал.

Для другого это лишь небольшая часть общего состояния.

Даже при одинаковом винрейте и дисперсии у них могут быть разные разумные ограничения на игровой риск.

Это не означает, что можно рассчитать универсальный коэффициент γ для всех покеристов.

Но полезно помнить, что одна и та же стратегия может обладать разной экономической ценностью в зависимости от капитала, целей и допустимых потерь.

Вопрос не только в том, сколько стратегия приносит в среднем, но и в том, какой размер риска необходимо принять ради этой прибыли.

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Sportsbook RM

19. Практический взгляд: букмекерский риск-менеджмент

Независимая профессиональная интерпретация

Для sportsbook RM особенно важно различать ожидаемый GGR и распределение потенциального GGR.

Представим две риск-политики.

Обе дают одинаковую ожидаемую прибыль.

Но первая предполагает относительно стабильное распределение обязательств по большому количеству событий.

Вторая создаёт более выраженную концентрацию на отдельных исходах.

Даже при одинаковом ожидаемом результате возможные финансовые последствия существенно различаются.

Однако здесь возникает ещё один важный нюанс.

Нельзя считать, что задача букмекера сводится к максимизации CER по одной случайной переменной GGR.

Реальный бизнес должен учитывать собственный капитал, ликвидность, договорные обязательства, клиентский опыт и допустимые пределы убытков.

При этом идеи ожидаемой полезности можно использовать как концептуальную основу.

Дополнительная ожидаемая прибыль обладает положительной экономической ценностью.

Но её предельная ценность может уменьшаться, если ради неё бизнес принимает непропорционально большой риск тяжёлого убытка.

Отсюда появляется задача поиска разумного баланса между GGR и совокупной liability.

Особенно важно учитывать корреляцию.

Несколько ставок на разные рынки одного спортивного события могут создать общий отрицательный сценарий, который существенно тяжелее, чем кажется при анализе каждой ставки отдельно.

Поэтому профессиональная оценка риска должна учитывать совместное распределение результатов.

В противном случае можно получить ситуацию, когда каждая отдельная ставка выглядит экономически оправданной, но совокупная экспозиция оказывается чрезмерной.

Одинаковый ожидаемый GGR не делает две конфигурации риска равноценными.

Именно этот принцип объединяет теорию ожидаемой полезности с практическим управлением букмекерскими обязательствами.

---

20. Как применять эту логику в реальных решениях

После знакомства с Expected Utility полезно разделять оценку риска на несколько последовательных этапов.

1. Определить возможные результаты. Не только среднее значение, но и форму распределения, включая неблагоприятные исходы.
2. Оценить вероятность каждого результата. При этом учитывать не только случайность исходов, но и неопределённость самих оценок.
3. Определить размер позиции. Рискованная возможность не обязательно должна использоваться на весь доступный капитал.
4. Определить критерий качества решения. Это может быть ожидаемая прибыль, ожидаемая полезность, вероятность достижения финансовой цели или другой показатель.
5. Проверить ограничения. Даже привлекательное математическое решение может оказаться недопустимым из-за риска критической потери, недостаточной ликвидности или высокой корреляции с существующими позициями.

После этого становится возможным содержательное сравнение альтернатив.

И вместо расплывчатого вопроса «какая стратегия лучше?» появляется гораздо более точный:

«Какая стратегия и какой размер позиции лучше соответствуют нашим целям и ограничениям при доступной информации?»

---

Главный вывод

Математическое ожидание отвечает на вопрос, сколько денег стратегия приносит в среднем.

Волатильность показывает величину разброса результатов.

Sharpe ratio помогает сравнивать дополнительную доходность относительно волатильности.

Но даже совпадение всех этих характеристик не гарантирует одинаковой экономической ценности.

Наши три стратегии имеют одинаковые EV, волатильность и Sharpe ratio.

И всё же при одной и той же функции полезности их CER существенно различается.

Причина — форма распределения результатов.

А ещё — размер капитала, который мы решаем подвергнуть риску.

Хорошая возможность не обязательно хороша при любом размере позиции.

И высокая частота прибыльных исходов не означает, что стратегия обеспечивает приемлемую полезность.

Главный урок Expected Utility состоит не в том, чтобы заменить каждое финансовое решение одной формулой.

А в том, чтобы явно определить, какие результаты для нас ценны, какие последствия мы хотим избежать и сколько риска имеет смысл принимать ради ожидаемой выгоды.

Проверить на практике

Эксперимент «Три стратегии»

Перед тобой три возможности с одинаковой ожидаемой доходностью 5%, волатильностью 20% и Sharpe ratio 0,25.

Сначала выбери, какая кажется привлекательнее.

Затем сравни CER, измени размер позиции и коэффициент неприятия риска.

Особенно обрати внимание на стратегию C: при полном масштабе исходной ставки $350 её CER может быть отрицательным, но уменьшение ставки существенно меняет результат.

Следующая тема

Почему люди пытаются отыграться?

Если теория ожидаемой полезности помогает строить последовательные решения, почему в реальности люди часто предпочитают гарантированную прибыль рискованной, но одновременно готовы рисковать ради возможности избежать уже воспринимаемого убытка?

Следующий материал будет посвящён поведенческой экономике, теории перспектив и границам рациональных моделей выбора.

---