Почему средний результат может обманывать

1. Монетка, которая всегда на твоей стороне

Представим простую математическую модель.

У тебя есть $1 000, и ты можешь сыграть 25 раз.

Каждый раз монетка с вероятностью 60% приносит выигрыш, а с вероятностью 40% — проигрыш.

При выигрыше ты зарабатываешь сумму, равную ставке. При проигрыше теряешь поставленные деньги.

Ты выбираешь одну постоянную долю текущего капитала для каждой ставки.

Например, если выбрал 20%, то сначала ставишь $200.

После победы банкролл увеличится до $1 200, а следующая ставка составит $240.

После поражения банкролл уменьшится до $800, а следующая ставка — до $160.

Все броски независимы, вероятности известны точно, а максимальная выплата ничем не ограничена.

Это важное отличие от нашей предыдущей статьи, где присутствовал потолок выплаты $250.

Здесь мы хотим исследовать, что происходит с капиталом, когда выгодная возможность повторяется много раз.

Результат после каждого броска определяется двумя формулами:

После выигрыша:

$$\begin{gathered}\text{Новый капитал} = \\ \text{Текущий капитал} \times (1 + f)\end{gathered}$$

После проигрыша:

$$\begin{gathered}\text{Новый капитал} = \\ \text{Текущий капитал} \times (1 - f)\end{gathered}$$

Где f — выбранная доля банкролла.

Вероятности исходов не меняются. Математическое преимущество остаётся прежним.

Меняется только размер риска.

2. Почему максимальная ставка создаёт фантастическое математическое ожидание

На каждый поставленный доллар приходится $0,20 ожидаемой прибыли.

Следовательно, если рассматривать только денежное математическое ожидание, увеличение размера ставки всегда увеличивает ожидаемый результат следующего броска.

Для 25 последовательных ставок ожидаемый итоговый капитал выражается формулой:

Посмотрим, что получится при разных долях.

Если выбирать стратегию исключительно по ожидаемому итоговому капиталу, ставка 100% оказывается безусловным победителем.

По этой метрике она превосходит ставку 20% почти в 36 раз.

Но прежде чем называть её лучшей стратегией, посмотрим на возможные исходы.

При ставке 100% первый же проигрыш обнуляет капитал.

Для успешного завершения всех 25 бросков необходимо выиграть каждый из них.

Вероятность такой последовательности:

$$P(25\text{ побед подряд})=0{,}6^{25}\approx0{,}000002843$$

Иначе говоря, шанс пройти всю серию без единого поражения составляет приблизительно 0,000284%.

Но если это невероятное событие произойдёт, первоначальные $1 000 превратятся в:

$$1\,000\times2^{25}=33\,554\,432\,000$$

Именно этот редчайший огромный выигрыш создаёт ожидаемый капитал около $95 396.

Почти все остальные последовательности заканчиваются нулём.

Получается парадокс: ожидаемый капитал огромен, но наиболее вероятный финансовый результат — полная потеря денег.

Математическое ожидание ничего не скрывает и не обманывает нас.

Мы просто неправильно используем показатель, когда пытаемся представить его как наиболее вероятный исход.

---

3. Среднее и медиана отвечают на разные вопросы

Чтобы правильно оценить стратегию, необходимо различать средний и медианный результат.

Среднее — это математическое ожидание, взвешенное по вероятностям всех возможных исходов.

Медиана — результат, находящийся в центре распределения: как минимум половина вероятности лежит не выше него, и как минимум половина — не ниже.

Когда распределение относительно симметрично, среднее и медиана могут быть близкими.

Но если в распределении присутствуют редкие огромные выигрыши, они способны значительно поднять среднее, почти не меняя медиану.

Вернёмся к нашей монетке.

Самая интересная строка — 40%.

Ожидаемый итоговый капитал составляет $6 848.

При этом медианный результат — всего $941.

То есть при этой стратегии центральная траектория заканчивается с меньшим капиталом, чем был в начале.

И вероятность закончить 25 бросков с суммой ниже первоначальных $1 000 составляет примерно 57,54%.

Таким образом, в большинстве возможных последовательностей стратегия 40% приведёт к итоговому убытку, хотя её математическое ожидание очень высокое.

Причина — асимметричное распределение результатов.

Несколько крайне успешных последовательностей создают огромные капиталы, которые резко повышают среднее значение.

Но они мало говорят о том, что произойдёт с обычным участником, который проживёт только одну последовательность.

Это фундаментальное различие между средней доходностью по всем возможным исходам и результатом, который с высокой вероятностью получит один конкретный человек.

4. Насколько вероятна действительно тяжёлая потеря?

Среднее и медиана уже дают нам больше информации, чем одно EV.

Но финансовый риск не исчерпывается и этими двумя показателями.

Представим, что мы хотим знать вероятность закончить серию с капиталом не больше $500.

То есть потерять как минимум половину первоначального банкролла.

Получаем:

Обрати внимание на сравнение 10% и 20%.

У ставки 20% более высокое математическое ожидание и более высокий медианный результат.

Но вероятность закончить серию с потерей половины капитала примерно в 11,7 раза выше.

Это не делает ставку 20% автоматически плохой.

Просто два человека могут по-разному оценить такую разницу в риске.

Для одного потеря $500 из $1 000 будет неприятной, но финансово допустимой.

Для другого — критической.

Отсюда возникает важное уточнение:

Мы не можем оценить разумность размера ставки, пока не знаем, насколько болезненны для принимающего решение человека возможные потери.

В этом примере мы измеряем именно вероятность потери к концу 25-го броска.

Вероятность хотя бы раз опуститься ниже $500 в процессе серии — другой показатель. Она может быть выше, поскольку после глубокой просадки капитал ещё способен восстановиться.

Путать эти два вида риска нельзя.

---

5. Почему волатильность снижает долгосрочный рост

Снова рассмотрим две последовательные ставки.

Допустим, мы ставим 40% текущего капитала.

Сначала выигрываем, затем проигрываем.

Капитал изменяется так:

$1 000 → $1 400 → $840

Мы один раз выиграли и один раз проиграли, но потеряли 16% первоначального капитала.

При ставке 20% аналогичная последовательность выглядела бы так:

$1 000 → $1 200 → $960

Потеря составляет только 4%.

Причина заключается в том, что одинаковые процентные выигрыши и потери не компенсируют друг друга:

$$(1+f)(1-f)=1-f^2$$

Чем выше доля ставки, тем сильнее эффект.

Этот эффект часто называют volatility drag — снижением накопленного роста из-за колебаний капитала.

Но здесь есть важный нюанс.

Волатильность не является отдельным денежным сбором, который кто-то удерживает с капитала.

Она влияет на результат через математическую структуру последовательных процентных изменений.

Именно поэтому нельзя просто усреднять процентные доходности и считать, что полученное значение соответствует реальному сложному росту капитала.

Для оценки накопленного роста нужно учитывать, как результаты перемножаются.

6. Арифметическая и геометрическая доходность

Представим актив, который в первый год вырос на 50%, а во второй упал на 50%.

Арифметическая средняя доходность:

$$\frac{(+50\%)+(-50\%)}{2}=0\%$$

Но что произошло с капиталом?

$$1\,000\times1{,}5\times0{,}5=750$$

Итог — потеря 25%.

Арифметическая средняя доходность оказалась нулевой, однако фактическое состояние капитала ухудшилось.

Чтобы правильно описать накопленный результат, используется геометрическая доходность.

В нашем примере:

$$\text{Геометрическая доходность}=\sqrt{1{,}5\times0{,}5}-1$$

Получается приблизительно −13,4% в год.

Именно такой постоянный ежегодный темп изменения капитала дал бы тот же итог за два года.

Этот пример позволяет понять, почему высокая арифметическая доходность не гарантирует высокий долгосрочный рост.

Геометрический рост зависит не только от средних результатов, но и от того, насколько сильно они колеблются.

Поэтому управление размером позиции — не просто вопрос психологического комфорта.

Оно непосредственно влияет на математические характеристики накопления капитала.

---

7. Почему критерий Келли выбирает именно 20%

Для монетки 60/40 максимизация ожидаемого денежного результата подталкивает нас к максимально большой ставке.

Однако если наша цель — максимизировать ожидаемый логарифмический рост капитала, ответ меняется.

Математическая функция:

$$g(f)=0{,}6\ln(1+f)+0{,}4\ln(1-f)$$

Первое слагаемое учитывает логарифмический рост после победы.

Второе — после поражения.

Мы ищем значение f, при котором функция достигает максимума.

Для наших условий:

$$f^*=20\%$$

Это и есть результат критерия Келли.

Теперь посмотрим на значения ожидаемого логарифмического роста за один бросок.

Видно, что сначала увеличение ставки улучшает результат.

Но после 20% ожидаемый логарифмический рост начинает снижаться.

А примерно после 38,94% становится отрицательным.

Это означает, что при достаточно долгом повторении идентичных независимых ставок с такими параметрами типичная траектория капитала будет иметь отрицательный темп логарифмического роста.

И одновременно математическое ожидание денежного капитала продолжит расти с увеличением ставки.

Эти два факта не противоречат друг другу.

Они относятся к разным характеристикам распределения.

Келли не максимизирует средний капитал. Он максимизирует ожидаемый логарифмический рост капитала.

И это принципиально другой критерий оптимальности.

8. Но даже полный Келли не гарантирует хороший результат

После предыдущего раздела может показаться, что задача решена.

Достаточно рассчитать Келли — и проблема размера ставки исчезнет.

Но это не так.

Вернёмся к нашим 25 броскам.

При ставке 20% ожидаемый итог составляет $2 666.

Медианный — $1 654.

Тем не менее вероятность закончить серию с капиталом меньше первоначальных $1 000 составляет приблизительно 26,77%.

А вероятность потери хотя бы половины капитала к концу серии — 15,38%.

То есть даже математически оптимальная стратегия по Келли допускает вполне существенные просадки и отрицательные результаты на ограниченной дистанции.

Почему?

Потому что Келли решает конкретную математическую задачу.

Он не обещает положительную прибыль за каждую серию.

Не минимизирует вероятность временного убытка.

Не гарантирует сохранение определённой доли капитала.

И не учитывает автоматически, какие потери конкретный человек способен перенести.

Например, если инвестор не может позволить себе потерю более 20% состояния, полный Келли может оказаться неподходящим даже при точно известных вероятностях.

Нужно либо выбирать другую целевую функцию, либо вводить дополнительные ограничения на риск.

Отсюда возникает идея дробного Келли.

Вместо 20% капитала можно использовать, например, 10% или 5%.

Ожидаемый логарифмический рост снизится, но многие неблагоприятные сценарии будут менее разрушительными.

При этом нельзя утверждать, что половина Келли всегда правильнее полного Келли.

Выбор зависит от предпочтений, горизонта, обязательств и допустимых потерь.

---

9. Почему в реальной жизни всё ещё сложнее

До сих пор мы пользовались чрезвычайно удобным предположением.

Мы точно знаем, что вероятность победы составляет 60%.

В действительности подобная определённость встречается редко.

Профессиональный беттор может оценивать вероятность события в 55%.

Но истинная вероятность может оказаться 52% или 50%.

Инвестиционный аналитик может прогнозировать дополнительную доходность акций, но ошибаться в отношении будущих экономических условий.

Букмекерский RM может считать отдельную ставку положительной по ожидаемому GGR, однако не знать с высокой точностью реальную вероятность исхода или степень корреляции с другими позициями.

В таких условиях агрессивный размер ставки усиливает не только влияние случайных результатов, но и последствия ошибки самой модели.

Разница очень существенна.

Дисперсия результата — это неопределённость, которая сохраняется даже при правильно известных вероятностях.

Неопределённость оценки — это риск того, что используемые вероятности или другие исходные параметры вообще неверны.

Первую проблему можно исследовать через математическое распределение исходов.

Вторая требует отдельной работы с качеством данных, устойчивостью модели, альтернативными сценариями и оценкой границ неопределённости.

Именно поэтому в реальной практике математически рассчитанный размер позиции часто приходится корректировать.

Не потому, что формулы ошибочны, а потому, что их входные данные несовершенны.

10. Почему не стоит судить о стратегии по одному результату

Есть ещё одно следствие всего сказанного.

Представим двух игроков.

Первый использует умеренный размер ставок, ориентируется на банкролл и принимает решения на основании качественных вероятностных оценок.

Второй постоянно рискует большой долей капитала.

После месяца игры первый заработал 5%.

Второй — 300%.

Кто управлял капиталом лучше?

По одному месяцу этого определить нельзя.

Возможно, второй игрок действительно обладает более сильным преимуществом.

Но возможно и другое: его стратегия имеет гораздо более высокий риск и полученный результат принадлежит к редким удачным траекториям.

Мы наблюдаем только реализованный исход, а не всё распределение возможных исходов.

Отсюда возникает проблема outcome bias — склонности судить о правильности решения по результату, который стал известен впоследствии. Этот эффект исследовали Джонатан Барон и Джон Херши в работе Outcome Bias in Decision Evaluation (1988): люди выше оценивали качество решения, если узнавали о благоприятном исходе, даже когда информация для принятия решения оставалась той же.

При анализе стратегии важно задавать другие вопросы.

Какова была ожидаемая доходность до начала периода?

Насколько надёжно были оценены вероятности?

Какие убытки могла принести стратегия при неблагоприятном сценарии?

Насколько её размер соответствовал капиталу и ограничениям?

И только после этого имеет смысл оценивать, насколько фактический результат соответствует ожиданиям.

Хорошее решение может закончиться проигрышем. Плохое решение может принести прибыль.

Для профессионального риск-менеджмента это одно из важнейших различий.

---

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Спортивные ставки

11. Практический взгляд: спортивные ставки

Независимая профессиональная интерпретация

В спортивном беттинге очень легко сосредоточиться на показателях среднего преимущества.

ROI, yield, CLV и качество оценки вероятностей действительно важны.

Но финансовый результат игрока зависит ещё и от того, как он распределяет банкролл между возможностями.

Представим двух бетторов с одинаковой способностью находить положительные по EV ставки.

Первый использует небольшой процент капитала на каждую ставку.

Второй ставит значительно агрессивнее.

Второй может демонстрировать гораздо более впечатляющие результаты на коротких благоприятных сериях.

Но его риск глубоких просадок будет выше.

Поэтому сравнение двух игроков исключительно по конечному P&L может оказаться обманчивым.

Важно понимать размер принятого риска и диапазон возможных финансовых результатов.

Есть и ещё одна практическая проблема: ставки, сделанные на разные матчи или рынки, не обязательно независимы.

Если несколько решений зависят от одного спортивного события, концентрация риска может быть значительно выше, чем кажется по количеству отдельных купонов.

Иными словами, увеличение числа ставок само по себе не гарантирует диверсификации.

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Покер

12. Практический взгляд: покер

Независимая профессиональная интерпретация

В покере особенно легко перепутать винрейт, дисперсию и результат конкретной дистанции.

Представим двух игроков с одинаковым реальным винрейтом.

Один сыграл 10 000 раздач и оказался в большом плюсе.

Другой закончил аналогичную дистанцию с существенным убытком.

Это не является логическим противоречием.

При достаточно высокой дисперсии оба результата могут быть совместимы с одной и той же положительной математической доходностью.

На короткой дистанции разброс результатов может быть намного значительнее ожидаемой прибыли.

У этой проблемы есть и обратная сторона.

Игрок, получивший исключительно удачную серию, может переоценить собственное преимущество.

Если на основании такой серии он перейдёт на лимит, не соответствующий его банкроллу, то изменит не только размер потенциальной прибыли, но и финансовые последствия нормальной дисперсии.

Поэтому при оценке покерных результатов полезно различать:

• Оценку реального винрейта.
• Разброс результатов на определённой дистанции.
• Финансовую устойчивость выбранного лимита и размера банкролла.

Все три показателя нужны, чтобы сделать обоснованный вывод о стратегии.

Самостоятельный расчёт: сколько раздач достаточно для плюсового игрока?

Предположим, у игрока истинный винрейт +5 bb/100, а стандартное отклонение выигрыша за блок из 100 раздач — 80 bb. Это условные параметры иллюстративной модели, не статистика конкретного игрока и не оценки из исследования ниже.

Если считать непересекающиеся блоки по 100 раздач независимыми и приблизить суммарный результат нормальным распределением, получим:

• Ожидаемый выигрыш за N раздач: 5 × N / 100 больших блайндов.
• Стандартное отклонение: 80 × √(N / 100) больших блайндов.
• Вероятность закончить в минусе: вероятность того, что случайное отклонение превысит ожидаемую прибыль по модулю.

Даже при заранее известном положительном винрейте минус на дистанции 40 000 раздач в этой модели возможен приблизительно в каждом девятом–десятом случае. Ожидаемая прибыль растёт линейно с количеством раздач, а стандартное отклонение — пропорционально квадратному корню из дистанции.

В реальной жизни винрейт заранее неизвестен: мы оцениваем его по той же шумной выборке. Кроме того, дисперсия зависит от формата игры, состава оппонентов и стиля, а результаты блоков не обязаны быть независимыми. Поэтому таблица — условный математический пример, а не прогноз для конкретного игрока.

В исследовании Potter van Loon, van den Assem и van Dolder (2015) анализировались сотни миллионов наблюдений за онлайн-покером; авторы обнаружили устойчивые различия в результатах игроков, согласующиеся с существенной ролью навыка. Их вывод о том, что в соответствующих симуляциях влияние навыка начинает преобладать над случайностью примерно после 1 500 раздач, не означает, что каждый хороший игрок обязан показать прибыль уже на такой дистанции. Различать групповую предсказуемость навыка и вероятность отдельного игрока закончить в плюсе принципиально важно.

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Sportsbook RM

13. Практический взгляд: букмекерский риск-менеджмент

Независимая профессиональная интерпретация

Для sportsbook RM проблема среднего и типичного результата особенно важна при анализе распределения GGR.

Предположим, мы рассматриваем два варианта риск-политики на условном наборе событий.

Для простоты зададим два возможных распределения итогового GGR за период.

Политика A:

• 60% вероятность заработать €40 000.
• 40% вероятность потерять €10 000.

Политика B:

• 90% вероятность заработать €50 000.
• 10% вероятность потерять €250 000.

Математическое ожидание у них одинаковое.

Для политики A:

$$\mathrm{EV}=0{,}6\times40\,000\,\text{\text{€}}-0{,}4\times10\,000\,\text{\text{€}}=+20\,000\,\text{\text{€}}$$

Для политики B:

$$\mathrm{EV}=0{,}9\times50\,000\,\text{\text{€}}-0{,}1\times250\,000\,\text{\text{€}}=+20\,000\,\text{\text{€}}$$

Если ориентироваться только на ожидаемый GGR, политики эквивалентны.

Если смотреть на вероятность прибыльного результата или медианный GGR, политика B даже кажется значительно лучше.

Но она несёт риск убытка €250 000.

Причём вероятность этого исхода — 10%, а не какая-то исчезающе малая величина.

Таким образом, политика с более высокой частотой положительных результатов может одновременно иметь значительно более тяжёлый отрицательный хвост распределения.

Это самостоятельный условный пример, не модель реального букмекерского портфеля.

На практике распределения гораздо сложнее. Они зависят от коэффициентов, объёма ставок, состава событий, корреляций, изменений экспозиции и множества других факторов.

Но базовый принцип остаётся тем же.

Одинаковый ожидаемый GGR не означает одинаковый финансовый риск.

Букмекерскому RM важно понимать не только ожидаемую прибыль, но и вероятность крупного убытка, его потенциальный размер и способность бизнеса пережить такой сценарий.

При этом ограничение наиболее опасных рисков может потребовать отказаться от некоторого объёма положительной ожидаемой прибыли.

Это не обязательно ошибка или неэффективность.

Это может быть рациональной ценой снижения риска недопустимых финансовых последствий.

---

14. Какие показатели действительно нужны для оценки стратегии

Если оценивать стратегию целиком, одного денежного EV недостаточно.

Нужны как минимум несколько разных взглядов на распределение результатов.

• Ожидаемый результат. Сколько денег стратегия приносит в среднем по всем возможным исходам?
• Типичный результат. Какой результат находится в центральной части распределения?
• Вероятность существенной потери. Насколько часто капитал может оказаться ниже финансово приемлемого уровня?
• Глубина возможных просадок. Насколько тяжёлыми могут быть неблагоприятные последовательности, в том числе до окончания рассматриваемого периода?
• Влияние на совокупный капитал или портфель. Что произойдёт, если несколько рисков реализуются одновременно?
• Качество исходных оценок. Насколько мы уверены в вероятностях, корреляциях и параметрах модели?

Не существует одной метрики, которая полностью заменяет остальные.

Но их совместный анализ позволяет лучше оценивать цену принимаемого риска.

---

Главный вывод

Финансовые решения нельзя оценивать исключительно по ожидаемой денежной прибыли.

Стратегия с привлекательным EV может иметь неудовлетворительный типичный результат.

Стратегия с высокой частотой выигрышей может скрывать редкие, но разрушительные потери.

Даже стратегия, оптимальная по ожидаемому логарифмическому росту, не гарантирует хорошего результата на ограниченной дистанции.

И чем агрессивнее размер позиции, тем сильнее отдельные неудачные последовательности влияют на возможность продолжать работу с капиталом.

Правильный вопрос — не только «сколько я заработаю в среднем?», но и «какие результаты возможны, насколько они вероятны и смогу ли я пережить худшие из них?»

Именно это отличает простую оценку прибыльности от полноценного управления риском.

Проверить на практике

Эксперимент «Цена преимущества»

Ты начинаешь с $1 000 и получаешь 25 бросков выгодной монетки. Выбери долю банкролла и посмотри, как меняются средний результат, медиана и риск существенной потери.

Попробуй последовательно выбрать 10%, 20%, 40% и 100%.

Обрати внимание, насколько сильно растёт математическое ожидание — и насколько меньше эта величина говорит о типичном результате.

Следующая тема

Сколько риска действительно стоит принимать?

После знакомства с математикой монетки возникает более сложный вопрос: как определить размер позиции в реальных финансовых активах, где доходность неизвестна заранее, риск непрерывен, а разные люди по-разному оценивают потери?

Один из подходов к ответу связан с моделью Мертона.

---