Положительное EV не спасает банкролл

1. Самая простая выгодная игра

Правила предельно просты.

Монетка выпадает орлом в 60% случаев, решкой — в 40%.

Ты можешь поставить любую допустимую сумму на выбранную сторону. Если угадываешь, получаешь чистый выигрыш, равный ставке. Если ошибаешься — теряешь её.

Предположим, ты ставишь $100 на орла.

Математическое ожидание прибыли:

Каждый поставленный доллар имеет 20% ожидаемой прибыли.

Для сравнения, при ставке на решку всё наоборот:

Если вероятность действительно известна и броски независимы, выбирать орла математически выгоднее.

Но как правильно воспользоваться преимуществом?

Ставить весь банкролл? Половину? Фиксированные $5? Увеличивать ставку после проигрыша?

От ответа на этот вопрос зависит больше, чем кажется.

2. Что показал реальный эксперимент

В исследовании Виктора Хагани и Ричарда Дьюи 61 участнику — преимущественно студентам финансовых и экономических направлений и молодым финансовым специалистам — предложили игру с выгодной монеткой.

Каждый начинал с $25. На игру отводилось 30 минут — за это время можно было сделать примерно до 300 бросков. Максимальная выплата составляла $250. Участники знали о наличии потолка, но его точный размер заранее не сообщали: сумму раскрывали, когда ставка при выигрыше могла привести к достижению ограничения.

Хотя вероятность выигрыша была прямо указана участникам, результаты оказались слабыми.

21% попали в категорию достигших максимума, 28% — в категорию разорившихся, а средняя выплата составила $91.

Участники в общей сложности сделали 7 253 броска. Частота выпадения орла оказалась близкой к заявленной — 59,6%.

Таким образом, плохие результаты сложно объяснить тем, что игра внезапно оказалась невыгодной.

Интереснее другое.

18 участников хотя бы один раз поставили на кон весь банкролл. Примерно две трети участников хотя бы раз выбирали невыгодную сторону монетки. Некоторые систематически меняли размер ставки после коротких последовательностей побед или поражений.

Для игры с известными вероятностями это удивительно много ошибок.

Стоит учитывать, что выборка была небольшой и не репрезентативной для всех инвесторов или игроков. Но эксперимент убедительно иллюстрирует разрыв между знанием вероятностей и умением правильно распоряжаться капиталом.

Примечание к статистике исследования: «достигшими максимума» авторы считали участников с остатком от $200, хотя фактический потолок выплаты составлял $250. В категорию «разорившихся» относили участников с остатком меньше $2. Это категории анализа, а не буквальные значения финального банкролла у каждого игрока.

3. Почему стратегия «ставить всё» кажется привлекательной

Если у тебя преимущество 20%, логично предположить, что чем больше поставишь, тем больше заработаешь.

В рамках одной ставки это математически верно.

Пусть размер банкролла составляет B, а доля ставки — f.

Тогда после победы капитал увеличивается до B × (1 + f).

После поражения уменьшается до B × (1 − f).

Математическое ожидание после одного броска:

$$\mathbb{E}[B_1]=B\left[0{,}6(1+f)+0{,}4(1-f)\right]$$

После упрощения:

$$\boxed{\mathbb{E}[B_1]=B(1+0{,}2f)}$$

Следовательно, ожидаемый денежный результат растёт вместе с долей ставки.

Если смотреть только на эту таблицу, оптимальным решением кажется ставка всем капиталом.

Но при каждом поражении она обнуляет банкролл.

И если впереди не один бросок, а длинная серия, такая стратегия быстро становится катастрофической.

Проблема не в математическом ожидании. Проблема в том, какую характеристику результата мы пытаемся максимизировать.

4. Почему победы и поражения не компенсируют друг друга

Представим, что ты ставишь по 20% текущего капитала.

Сначала выигрываешь.

Капитал $100 превращается в $120.

Теперь проигрываешь.

Ты теряешь 20% уже от $120, то есть $24.

Остаток составляет $96.

Несмотря на равное количество побед и поражений, капитал уменьшился на 4%.

Причина — мультипликативная природа результата.

$$(1+0{,}2)(1-0{,}2)=0{,}96$$

Это и есть одна из причин, почему дисперсия имеет цену.

Для возвращения к исходному капиталу после потери 20% необходимо заработать уже 25%.

После потери 50% потребуется удвоить оставшееся.

Чем глубже просадка, тем сложнее её компенсировать.

На длинной дистанции этот эффект становится принципиально важным.

5. Критерий Келли: как определить долю капитала

Вместо максимизации среднего денежного результата можно максимизировать ожидаемый логарифмический рост капитала.

Для нашей монетки функция выглядит так:

$$g(f)=0{,}6\ln(1+f)+0{,}4\ln(1-f)$$

Она оценивает ожидаемое изменение логарифма богатства после одного броска.

Максимум этой функции достигается при ставке 20% текущего банкролла.

Это и есть полный Келли для вероятности победы 60% и коэффициента 2,00.

В общей форме:

$$\boxed{f^*=\frac{bp-q}{b}}$$

Где:

• p — вероятность победы;
• q = 1 − p — вероятность поражения;
• b — чистый выигрыш на единицу ставки;
• f* — искомая доля банкролла.

Для монетки:

$$f^*=\frac{1\times0{,}6-0{,}4}{1}=0{,}2$$

Важно понять смысл результата.

Келли не утверждает, что ставка 20% безопасна или подходит каждому человеку.

Он утверждает, что при заданных вероятностях, повторяющихся независимых исходах, отсутствии ограничивающего потолка и логарифмической цели эта доля максимизирует ожидаемый темп логарифмического роста.

Это математический оптимум для конкретной задачи, а не универсальная рекомендация.

6. Как можно зарабатывать по EV и проигрывать на типичной траектории

Сравним несколько размеров позиции.

Последняя строка особенно интересна.

Ставка 40% капитала имеет положительный EV: в среднем за один бросок ожидаемый капитал увеличивается на 8%.

Но ожидаемый логарифмический рост отрицателен.

Иными словами, эта стратегия обладает положительным математическим ожиданием денежного результата, но при долгом повторении типичная траектория капитала имеет тенденцию сокращаться.

Редкие исключительно успешные серии делают среднее очень высоким.

Большинство траекторий может при этом выглядеть значительно хуже.

Высокий средний результат по множеству возможных миров и хороший результат для одного человека на одной прожитой дистанции — разные вещи.

7. Почему полный Келли не всегда лучше

Теперь усложним игру.

Тебе предоставляют стартовые $25. У тебя есть ограниченное число бросков. Больше $250 получить нельзя.

Задача перестаёт быть бесконечным наращиванием банкролла.

Теперь важно максимально эффективно использовать ограниченную возможность получить конкретную выплату.

Предположим, ты уже накопил $230 и цель составляет $250.

При ставке 20% ты рискуешь $46.

Если выиграешь, выплата всё равно ограничится $250. Но проигрыш уменьшит банкролл до $184.

Очевидно, что размер риска, подходящий для увеличения капитала на бесконечном горизонте, не обязательно рационален рядом с фиксированной целью.

Поэтому для игры с ограниченной выплатой оптимальная стратегия может отличаться от полного Келли.

Для исторического эксперимента с длительностью 30 минут (порядка 300 возможных бросков) авторы моделировали стратегии постоянной доли капитала: ставки 10–20% позволяли достигать потолка выплаты примерно в 95% симулированных случаев.

При ставках 5% или 40% вероятность достижения потолка снижалась примерно до 70%. Это результаты моделирования авторов для длинной серии, а не вероятности для нашего интерактива с 25 решениями.

Почему?

При 5% преимущество используется слишком медленно — может закончиться время.

При 40% слишком большой риск разрушает многие благоприятные траектории.

Это показывает, что оптимальный размер ставки зависит от определения успеха.

Если наша цель — максимизировать долгосрочный логарифмический рост, мы решаем одну задачу.

Если цель — достигнуть $250 за ограниченное время, мы решаем другую.

Одна и та же монетка. Разные оптимальные решения.

Отдельный расчёт: что меняется, если осталось только 25 бросков?

В исследовании Хагани и Дьюи игроки могли провести за 30 минут примерно до 300 бросков. В нашем интерактиве — максимум 25. Это не точная реконструкция исторического эксперимента, и приведённые выше 95% нельзя переносить на короткую игру.

Проверим это независимо. Начальный капитал — $25, вероятность орла — 60%, выплата 1:1, потолок — $250. Каждый раз игрок выбирает орла и ставит одну и ту же долю текущего капитала. Достижение $250 завершает серию; если потолок не достигнут, доступно максимум 25 бросков.

Для сравнения постоянных долей проведём точный подсчёт вероятностей всех возможных последовательностей исходов с учётом остановки при достижении потолка. В этом упрощённом расчёте нет округления ставок до центов и минимальной ставки $0,01, которые есть в интерактиве.

При ставке 10% дойти от $25 до $250 за 25 попыток получится только после 25 орлов подряд: вероятность этого равна 0,6²⁵ ≈ 0,000002843, или примерно 0,000284%.

Получается парадоксальный на первый взгляд результат: 40% капитала чаще позволяют быстро достичь потолка, чем полный Келли 20%. Но это не означает, что стратегия 40% лучше во всех смыслах. Мы измеряем только вероятность достижения $250, а не ожидаемую итоговую выплату, риск тяжёлой потери или полезность капитала. Крупные ставки дают шанс быстрее достичь максимума, но одновременно делают неудачные серии болезненнее.

К тому же постоянная доля не обязательно оптимальна даже для выбранной цели: по мере изменения капитала и числа оставшихся попыток может меняться и разумная ставка. Аарон Браун отдельно исследовал задачу оптимальных ставок при ограниченном количестве бросков и предельной выплате — это уже другая постановка задачи, чем классический критерий Келли.

Главный вывод: размер риска определяется не только преимуществом игрока, но и горизонтом, потолком выплаты и тем, какой результат мы считаем успехом. Сравнение с Келли в нашем интерактиве — ориентир, а не доказательство оптимальности стратегии 20%.

8. Почему догон не создаёт преимущество

После нескольких проигрышей у игрока может возникнуть соблазн увеличить ставку, чтобы быстрее вернуться к исходному капиталу.

Например, он начинает со ставки $2,50 и удваивает её после каждого поражения.

Это напоминает мартингейл.

На первый взгляд стратегия выглядит логичной: достаточно дождаться одной победы, чтобы компенсировать предыдущие потери и закончить серию с небольшой прибылью.

Но проблема заключается в конечности капитала.

Три последовательных поражения требуют ставок:

$2,50 → $5 → $10.

Совокупный проигрыш достигает $17,50.

При стартовом банкролле $25 следующая необходимая ставка $20 уже недоступна.

Вероятность трёх последовательных поражений при игре на орла составляет:

$$0{,}4^3=6{,}4\%$$

Это вовсе не невероятное событие при многократном повторении.

Мартингейл не меняет вероятность выпадения орла и не увеличивает математическое преимущество.

Он перераспределяет результаты: частые небольшие выигрыши достигаются ценой редких, но очень болезненных потерь.

9. Главная проблема реальной жизни: мы не знаем свои вероятности настолько точно

До сих пор мы предполагали, что вероятность орла действительно составляет 60% и нам это достоверно известно.

Но в спортивных ставках, покере и инвестициях ситуация сложнее.

Точное преимущество часто неизвестно.

Представим ставку с коэффициентом 2,00.

Ты оцениваешь вероятность победы в 55%.

По Келли получаешь долю банкролла 10%.

Но предположим, что твоя оценка ошибочна на три процентных пункта.

Если реальная вероятность составляет 52%, оптимальная доля по той же формуле — уже 4%.

Если реальная вероятность составляет 49%, положительного преимущества вообще нет.

Таким образом, ошибка в несколько процентных пунктов способна радикально изменить рациональный размер ставки.

Поэтому профессиональное управление банкроллом должно учитывать не только предполагаемый EV, но и надёжность его оценки.

Именно здесь возникают практические аргументы в пользу дробного Келли, ограничений максимальной доли ставки и более консервативного sizing при высокой неопределённости.

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Спортивные ставки · Покер

10. Что это означает для беттинга и покера

Независимая профессиональная интерпретация

В спортивных ставках можно выделить три отдельные задачи.

Первая — оценить истинную вероятность события.

Вторая — определить, существует ли преимущество относительно предлагаемого коэффициента.

Третья — выбрать размер ставки с учётом банкролла, дисперсии и возможной ошибки оценки.

Третья задача не становится автоматически решённой после первых двух.

В покере происходит нечто похожее.

Положительный винрейт означает, что при достаточно большой выборке игрок может рассчитывать на прибыль. Но из этого не следует, что любой доступный лимит оптимален для его текущего банкролла.

Хорошая стратегия и неправильно выбранный лимит способны существовать одновременно.

Поэтому профессиональному игроку важно оценивать не только средний результат, но и устойчивость своей стратегии к нормальным сериям проигрышей.

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Sportsbook RM

11. А что со стороны букмекера?

Независимая профессиональная интерпретация

Представим, что букмекер принимает 100 ставок по €1 000 на один и тот же исход с коэффициентом 2,00.

Для простоты предположим, что истинная вероятность этого исхода составляет 45%.

Суммарно клиенты поставили €100 000.

Если исход проиграет, букмекер заработает €100 000.

Если исход выиграет, букмекер получит чистый результат −€100 000.

Математическое ожидание GGR по этому набору ставок:

$$\mathrm{EV}=0{,}55\times100\,000\,\text{\text{€}}-0{,}45\times100\,000\,\text{\text{€}}$$ $$\boxed{\mathrm{EV}=+10\,000\,\text{\text{€}}}$$

То есть принятие таких ставок в предложенной модели имеет положительное ожидаемое значение для букмекера.

Но вероятность получить убыток €100 000 составляет 45%.

Если рассматривать только ожидаемый GGR, такое решение выглядит выгодным.

Если учитывать совокупную экспозицию и доступный риск-бюджет, оценка может измениться.

И здесь проявляется ещё один нюанс.

Сто ставок на один и тот же исход не эквивалентны ста независимым ставкам с одинаковым EV.

Они целиком зависят от одного результата.

Именно поэтому букмекерскому RM важно учитывать не только ожидаемую доходность отдельной ставки, но и корреляцию позиций, распределение возможного GGR и предел допустимого убытка.

Это не означает, что все положительные по ожиданию ставки нужно принимать или что все крупные экспозиции следует блокировать.

Принятие риска — часть букмекерского бизнеса.

Вопрос заключается в том, какой объём риска оправдан ожидаемой доходностью с учётом уже принятых обязательств.

---

Главный вывод

Наличие преимущества — необходимая, но недостаточная часть хорошего решения.

Следует различать три вопроса:

Есть ли преимущество?

Какую долю капитала следует поставить на кон?

Какую цель мы вообще пытаемся максимизировать?

На каждый из них может потребоваться отдельный ответ.

Положительное EV говорит, что возможность имеет положительное математическое ожидание.

Критерий Келли помогает определить размер ставки для задачи долгосрочного роста при конкретных предпосылках.

А ограничения капитала, времени, достоверности оценок и максимальной выплаты могут изменить оптимальное решение.

Хороший риск-менеджмент начинается тогда, когда мы перестаём считать эти вопросы одним и тем же.

Проверить на практике

Эксперимент «Сможешь обыграть выгодную монетку?»

Начни с $25 и самостоятельно выбирай сторону монетки и размер ставки перед каждым из максимум 25 бросков. Вероятность орла — 60%, решки — 40%, а $250 — максимальная выплата, не обязательная цель.

После игры сравни свой путь со стратегией «20% текущего банкролла на орла» на тех же физических исходах. Такое сравнение иллюстрирует разные решения, но не доказывает оптимальность Келли для игры с ограниченным временем и потолком выплаты.

---